ABRIL

JUEVES, 21 DE ABRIL DEL 2016

Clase # 1

Geometría Analítica en el Espacio

Introducción.- Se dio a conocer conceptos básicos como el plano y el espacio.

• La gráfica de una función implícita F (x, y)=0 se representa siempre como una curva en el plano (R2).
• La gráfica de una función implícita F (x, y, z)=0 representa una superficie en el espacio (R3).
• La solución de un sistema de ecuaciones implícitas en R2 seria uno o mas puntos.
• La solución de un sistema de ecuaciones implícitas en R3 seria una superficie, si este sistema de ecuaciones tuviera 3 funciones implícitas la solución seria uno o mas puntos.

          CASOS ESPECIALES: Cuando la generatriz es perpendicular a uno de los ejes cartesianos

              

• DEMOSTRACION DE LAS ECUACIONES DE UNA RECTA

1.    Ecuación Vectorial de la Recta.
    
      r = ro + ta
    
     donde: r, ro y a son vectores en el espacio.
2.  Ecuacion Parametrica de la Recta.
   
   X = Xo + tl
   Y = Yo +tm
   Z= Zo +tn
3. Ecuaciones cartesianas de la Recta. 
   Se deducen despejando el termino t de las ecuaciones parametricas e igualandolos.
   
   X-Xo = Y-Yo = Z-Zo
      l          m         n

     En el siguiente video esta explicado las demostraciones de las ecuaciones en R2, para R3 se aplica del mismo modo.

Como dato adicional se menciono que la curva mas simple es una recta, ya que su radio de circunferencia tiende a infinito y no podemos apreciar la curvatura.

MARTES 26 DE ABRIL DEL 2016

El Plano en el Espacio

Supuestos

X y Xo son puntos que pertenecen al plano 

(sus vectores posición son R y Ro respectivamente)

n= (A, B, C) vector perpendicular al plano

Tesis:

Ecuación del plano 

Resolución

1.-  <XoX\n> =0  ==> producto punto, como son                                                    perpendiculares es igual a cero

                                                                       2.-  R =Ro + XoX

                                                                       3.-  XoX=R-Ro

                                                                       3 en 1

                                                                       4.- <(R-Ro)\n>=0  ==> Ecuación Vectorial del Plano 

Si resolvemos el producto punto podemos llegar a la ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO que es:

                                         

                                                    Ax+By+Cz+D=0

                

Ecuación Incompleta del plano.

                             

• Si C = 0, entonces Ax + By + D = 0, esta es la ecuación del plano con generatriz perpendicular al eje OZ.
• Si C = 0 y D = 0, entonces Ax + By =0, esta es la ecuación del plano con generatriz paralela al eje OZ que además satisface la solución trivial x = 0 ^ y = 0.
• Si B =0, C = 0 y D es diferente de 0, se tiene que Ax + D =0 , despejando x se tiene que x = -D/A, esta es la ecuación del plano con generatrices perpendiculares a los ejes OY y OZ, además de ser paralelo al plano YOZ.

Ecuación segmentada del plano.

                   x + y + z =  1                    a, b , c son los segmentos que se generan cuando el plano                             a    b    c                            interseca con los ejes

                                                   

Ecuacion Normal del plano 

Esta ecuacion esta en funcion de sus cosenos directores y tiene la forma 

Xcos(a)+ Ycos(b)+Zcos(c)=0

JUEVES 28 DE ABRIL DEL 2016

Normalizacion de la ecuacion general del plano.

Utilizando la ecuación normal del plano y multiplicandola por un factor normalizante u, se obtiene la ecuación general del plano normalizado.

                                             u^2 =                  1                 

                                                           (A^2+B^2+C^2)

Desviacion de un punto respecto de un plano 

• La desviación (d) será positiva cuando M y el origen de coordenadas están en lados opuestos del plano.
• La desviación (d) será negativa cuando M' y el origen de coordenadas están del mismo lado del plano.

M y M' son puntos fuera del plano

Distancia de un punto al plano 

1.- Si se conoce la ecuación normal 

d=Xcos(a) + Ycos(b) + Zcos(c) - ρ

donde: a,b,c son los cosenos directores del plano 

           

2.- Si se conoce la ecuacion general

d =      XA+YB+ZC+D   

           (A^2+B^2+C^2)

Ecuacion del plano determinado por 3 puntos

En el siguiente video se demuestra con un ejercicio como encontrar la ecuacion del plano dado 3 puntos. 

De manera general podemos decir que la ecuacion del plano dado 3 puntos es un producto mixto y tiene la forma 

                                          <(r-r1)\(r2-r1)>×(r3-r1)=0