JULIO

MARTES 5 DE JULIO DEL 2016

Máximos y Mínimos absolutos.

Toda función diferenciable en una región acotada y cerrada alcanza su valor mínimo o máximo en un punto estacionario, o un punto de la frontera de la región.

Máximos y Mínimos condicionados.

Se llama punto extremo condicionado de una función f(x,y) al punto critico que satisface tal definición, pero que adicionalmente debe cumplir con la condición de que son variables independientes estén relacionados entre si mediante un enlace.

g(x,y)=0

Para hallar el extremo condicionado de f(x,y) con la ecuacion de enlace g(x,y)=0, se forma la llamada funcion de Lagrange.

                                             F(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)

donde  λ : multiplicador de Lagrange, parametro cte.

Si la funcion es de 3 variables se tiene entonces que:

                                           F(x, y, z, λ1, λ2 ) = f(x, y, z) + λ1g1(x, y, z) + λ2g2(x, y, z) 

Metodo de Multiplicador de Lagrange.

Para determinar los valores extremos de f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y) = 0 (suponiendo que estos valores existan) y que el gradiente de g sea distinto de 0, se encuentra en la superficie g(x, y, z) = 0.

1.  Determine todos los valores de x, y, z & λ tal que el gradiente de f(x, y, z) sea igual a λ que multiplica al gradiente de g(x, y, z).
2. Se evalúa f en todos los puntos (x, y, z) encontrados, el mayor de toso es el máximo de de f y el menor el mínimo de f.

7 DE JULIO DEL 2016 

Integrales Múltiples.

• Se dice que f(x,y) es integrable si el limite de f(x,y) existe.
• Todas las funciones continuas son integrables.
• Si f(x,y)>0 entonces el volumen V del solido que yace arriba de la región R y debajo de la superficie z=f(x,y) es igual 

• La region R debe de ser parte de todo el dominio de la funcion

Tipos de Regiones.

• Región rectangular.

• Regiones entre curvas

Para todos estos tipos de regiones se puede generalizar la integral:

MARTES 12 DE JULIO DEL 2016

Propiedades de la Integral doble.

• Linealidad:
  
• Aditividad: Si la región R es unión disjunta de las regiones R1 y R2.
  
• De Comparación: Si g(x)<=f(x); para todo x, y, z elemento de R.
  

Transformación de Integrales Múltiples:

   Para transformar una integral múltiple a sus componentes rectangulares, se aplica el "determinante Jacobiano" de la transformación de las variables (x, y) a (u, v), que de forma generalizada está dada por:

Coordenadas Polares:

Coordenadas Cilíndricas:

MARTES 19 DE JULIO DEL 2016

Coordenadas esféricas

A continuación varios ejercicios de como resolver integrales usando coordenadas polares, cilíndricas y esféricas

• Coordenadas Polares

• Coordenadas Cilindricas

• Coordenadas Esfericas

JUEVES 21 DE JULIO DEL 2016

Calculo de masa y del centro de masa.

• Distribución Lineal de masa.

• Distribución Superficial de masa.

• Distribución Volumetrica de masa  

Momentos de Inercia

• Masas puntuales.

Los momentos de inercia de las "n" masas respecto de los ejes coordenados, está dado por:

• Masas Continuas

Sea L una lámina, los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados, están dados por:

MARTES 26 DE JULIO DEL 2016

Campos Vectoriales

1.1) En R2: 

Sea D un conjunto de R2, una región plana. Un campo vectorial sobre R2, es una función F que asigna a cada punto (x, y) en D un vector bidimensional 

F(x, y) = (P(x, y); Q(x, y)) 

donde:

P(x, y) y Q(x, y) son funciones escalares de 2 variables y a veces se les llama campos vectoriales.

1.2) En R3:

Sea D un conjunto de R3, una región plana. Un campo vectorial sobre R3, es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) en D un vector bidimensional 

F(x, y, z) = (P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)) 

donde:

P(x, y, z) y Q(x, y, z) son funciones escalares de 2 variables y a veces se les llama campos vectoriales.

Observación: 

• Para definir la continuidad de un campo vectorial se debe analizar la continuidad de cada una de sus componentes.
• Un campo vectorial F es conservativo, si es el gradiente de alguna función es decir, si existe una función f, tal que F sea igual al gradiente de f. En esta situación f recibe el nombre de función potencial de F.

2) Campo Gravitacional: 

   En física, se suele utilizar r en lugar de x para el vector posición:

3) Campo Eléctrico:

Campo Gradiente: 

• Si f es una función escalar de dos variables, su gradiente se define como:
• Por lo tanto, el gradiente de f(x, y) es realmente un campo vectorial gradiente.
• Si f es una función escalar de 3 variables:

JUEVES 28 DE JULIO DEL 2016

Clase #26

Divergencia (divF):

   

•    Sea F(x, y, z) = ((P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), la divergencia de F, denotado por:                                divF, es el campo escalar definido por el producto escalar entre el gradiente y la función F,

La divergencia se puede denotar de la siguiente manera

Rotacional (rotF):

   El rotacional de un campo vectorial F(x, y, z) = ((P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), denotado por RotF es el campo vectorial definido por:

*Observación: Si F es un campo vectorial definido en todo punto (x, y, z) del espacio, cuyas funciones componentes tienen derivadas continuas y RotF = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

 F=G(F)

Introducción a la Integral de Línea:

Integrales de Línea de Campos Vectoriales:

• Si el objeto no se mueve en línea recta y el ángulo entre la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento no son constantes.
• Si el objeto es movido a lo largo de una curva c en el plano XOY, y además que la fuerza está dada por el campo vectorial F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)).

MARTES 2 DE AGOSTO DEL 2016

Teorema Fundamental para Integrales de Línea:

• Definición de diferencial exacto: Sean P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz , se dice que son diferenciales exactos si:
  
  
  ∂P/∂y = ∂Q/∂x ; ∂P/∂z = ∂R/∂x ; ∂Q/∂z = ∂R/∂y
  
  
• Si P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz es un diferencial exacto, se dice que existe una función f(x, y, z) tal que df(x, y, z) = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

Teorema Fundamental: 

• Supongamos que f(x, y, z)dx = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz es un diferencial exacto y consideramos una curva c definida en un intervalo cerrado, de manera que r(t) = (x(t), y(t), z(t)) con a <= t <= b, entonces:
  
  
  ∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = f(x(b), y(b), z(b)) - f(x(a), y(a), z(a))
• Otras formas de enunciar el teorema, pueden ser: Sea F(x, y, z)dx = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k un campo vectorial conservativo definido en una región convexa D del espacio, entonces para todos los puntos A y B de D, se tiene:
  
  
  ∫ F.dr es independiente de la trayectoria que une A y B en D
• Sea c una curva en el espacio xyz, parametrizada para la función vectorial r(t) = (x(t), y(t), z(t)) para a <= t <= b. Supóngase que f(x, y, z) es una función diferenciable cuyo vector gradiente es continua sobre c. 

JUEVES 4 DE AGOSTO DEL 2016

Conservación de la Energía:

• Si F es un campo de fuerzas continuo que hace que se desplace un objeto a lo largo de la trayectoria c definida por r(t), a <= t <= b, donde r(a) = A, punto inicial y r(b) = B, punto final de c.
• Si F= m*a; F(r(t)) y a = r''(t) entonces F(r(t)) = r''(t).
• Por tanto:

• Finalmente, el trabajo (w) será igual a w = kb -ka
• Suponga que F(x, y, z) es un campo conservativo.
• La energía potencial de un objeto en el punto (x, y, z) se define como F(x, y, z) = -f(x, y, z) de modo que la función F es igual a menos el gradiente de f, entonces:
  
  
  kA + PA = kB + PB -> principio de conservación de la energía

MARTES 8 DE AGOSTO DEL 2016

Teorema de Green

• Sea c una curva simple cerrada positiva (sentido anti horario).
• Sea D la región plana limitada por C.
• Si C está definida por la función vectorial r(t), a <= t <= b.
• Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D, entonces: