JUNIO

JUEVES 2 DE JUNIO DEL 2016

Limites y Continuidad.

• Existen infinitos caminos o trayectorias de acercamiento a (a, b).
• Si por dos caminos el valor del límite es diferente, entonces se concluye que no existe el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b).
• Si por dos o más caminos el valor del límite tiene igual valor, entonces, suponemos que existe el límite que debemos proceder a demostrar.
• Para que f(x, y) sea continua en (a, b) se debe cumplir que el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) debe ser igual a f(a, b).
• Esto implica que:

1. Existe f(a, b).
2. Existe el límite f(x, y) cuando (x, y) tiende (a, b).
3. El límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende (a, b) es igual f(a, b).

• Si una de estas 3 condiciones no se cumple, se dice:

1. f(x, y) es discontinua inevitable en (a,b) si no existe el límite de f(x, y) en dichos puntos.
2. f(x, y) es discontinua evitable si no existe f(a, b) y existe el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) o si existe f(a, b) y el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) y además el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es diferente a f(a, b).

Martes, 7 de Junio del 2016

Derivadas Parciales

En Calculo Vectorial las derivadas parciales se refieren a una función Z la cual depende de las variables X y Y y va a tener dos derivadas. Una derivada con respecto a X y otra con respecto a Y.

Las derivadas parciales por definición de limites son:

De forma gráfica las derivadas parciales representan la pendiente de las rectas tangentes a las curvas C1 y C2, tal como se muestra en los siguientes gráficos.

JUEVES 9 DE JUNIO DEL 2016 

Planos Tangentes a las Superficies

Si una función f(x,y) tiene derivadas parciales continuas sobre un rectangulo en el plano XY que contiene a (a,b) en su interior, entonces entonces el plano z=f(x,y) en  P(a,b,f(a,b)) es el plano que pasa por P y que contiene las rectas tangentes a las dos curvas.

Las ecuaciones que describen a este plano son las siguientes.

El vector normal al plano tangente es 

N=(fx , fy ,-1)

donde N: es el vector normal

           fx=derivada de f(x,y) con respecto a x

           fx=derivada de f(x,y) con respecto a y

MARTES 14 DE JUNIO DEL 2016

Derivadas Direccionales.

Dada nuestra funcion z=f(x,y) con derivadas parciales:

donde cada una representan las razones de cambio de f(x,y) en las direcciones "x" y "y".

Es necesario también evaluar que pasa con nuestra función respecto a un vector unitario arbitrario 

u=(x,y)

Por lo tanto, la derivada direccional de f en (Xo,Yo) en la dirección de nuestro vector unitario "u", es

Gradiente

Si F es una función de tres variables "x", "y" y "z" entonces el gradiente de f, es una funcion vectorial definida por 

Aquí un ejemplo de como encontrar el vector gradiente de una función,

TEOREMA

Si f es una función diferencial de "x", "y"; entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u = (a, b) y por tanto, 

                                                 Duf(x,y) = fx(x, y).a + fy(x, y).b                                                  

                                                           Duf(x,y)=|G|*cos(ø)

donde Duf(x,y): derivada direccional.

donde |G|= modulo del vector gradiente

   Ya que la derivada direccional es el producto punto entre el gradiente de la función y el vector unitario u, se puede deducir:

1. Si ø=0; La derivada direccional es un valor máximo
2. Si ø=90; La derivada direccional es un valor cte.
3. Si ø=π; La derivada direccional es un valor mínimo.

Dirección de crecimiento máxima

Umax=G/|G|

Dirección de crecimiento mínima

Umin=-G/|G|

A continuación un ejercicio sobre derivadas direccionales.

MARTES 21 DE JUNIO DEL 2016

Derivadas Parciales de orden superior.

• Existen 2 a la "n" potencia, derivadas parciales de orden "n".
• Si se tiene una función f(x, y, z), entonces existen 3 a la "n" potencia, derivadas parciales de orden "n".
• Si se tiene una función f(x1, x2, x3, ... , xm); entonces existen "m" a la "n" potencia, derivadas parciales de orden "n".

Si la función es continua entonces se cumple que 

JUEVES 23 DE JUNIO DEL 2016

Aproximaciones Lineales.

Si z = f(x, y), entonces f es diferenciable en (a,b), si la variación de z se puede expresar de la forma:

zf - zo = fx(a,b)(x - xo) + fy(a,b)(y - yo) + ε1(xf - xo) + ε2(yf - yo)

Teorema:

   Si las derivadas parciales fx y fy existen cerca de (a,b) y son continuas en (a,b), entonces f es derivable en (a,b) 

MARTES 28 DE JUNIO DEL 2016

Regla de la Cadena.

z: variable dependiente

x,y: variable intermedia o aparente

t: variable independiente.

JUEVES 30 DE JUNIO DEL 2016

Máximos y Mínimos.

Máximos y mínimos relativos.

• Existe un máximo relativo en (a, b) si f(x,y) <= f(a, b) para todo (x,y) elemento de algún disco de centro (a,b).
• Existe un mínimo relativo en (a, b) si f(x,y) >= f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b)

Teorema

• Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a, b) y las derivadas parciales de primer orden existen allí, entonces: fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0
• El punto (a, b) se denomina PUNTO CRÍTICO (o estacionario).

Criterio de la segunda derivada:

Suponiendo que las segundas derivadas parciales de f son continuas en (a, b) y suponiendo que fx(a, b) = 0 y fy(a,b) = 0; es decir (a, b) es un punto crítico de F, sea:

D = D(a, b) = fxx(a, b) . fyy(a, b) - (fxy(a, b) )^2

1. Si D > 0 y fxx(a, b) > 0 ; entonces existe un mínimo relativo en (a, b)
2. Si D < 0 y fxx(a, b) < 0 ; entonces existe un máximo relativo en (a, b)
3. Si D < 0 ; existe un punto de silla en (a, b)
4. Si D = 0 ; el criterio no define

Este gráfico representa un punto de silla.